Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μαθηματικές μεθόδους Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης. Εφαρμογή στο πρόβλημα δυο σωμάτων

Δημάκης, Ευστράτιος (2015) Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μαθηματικές μεθόδους Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης. Εφαρμογή στο πρόβλημα δυο σωμάτων. BSc thesis, ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας.

Text EI32_2014.pdf Restricted to Registered users only Available under License Creative Commons Attribution Non-commercial No Derivatives. Download (2MB)

Abstract

Το αντικείμενο της παρούσας πτυχιακής εργασίας, είναι η παρουσίαση του τρόπου κατασκευής αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, θα κατασκευάσουμε άμεσες αριθμητικές μεθόδους Runge-Kutta για την ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Ιδιαίτερη προσοχή θα δώσουμε στα σφάλματα φάσης (τα οποία καλούνται και ως διασπορά ή υστέρηση φάσης) και παρουσιάζονται στις μεθόδους Runge-Kutta. Για την παρουσίαση και την κατασκευή των άμεσων αριθμητικών μεθόδων Runge-Kutta και Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης, θα προβούμε στον προγραμματισμό τους σε αρχεία Matlab. Για την μαθηματική ανάλυση και τον υπολογισμό της διασποράς τάξης των μεθόδων Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης, θα κατασκευάσουμε κατάλληλα αρχεία χρησιμοποιώντας το περιβάλλον προγραμματισμού Mathematica. Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά των αριθμητικών αυτών μεθόδων και για να οδηγηθούμε στην εξαγωγή συμπερασμάτων, θα χρησιμοποιήσουμε προβλήματα ελέγχου (test problems) στα οποία γνωρίζουμε την λύση τους. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται οι βασικές εισαγωγικές έννοιες για τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις καθώς και για τις αριθμητικές μεθόδους επίλυσής τους. Επίσης, στις παραγράφους του κεφαλαίου αυτού παρουσιάζετε ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα των διαφορικών εξισώσεων, το οποίο είναι το πρόβλημα αρχικών τιμών πρώτης τάξης. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μπορεί κανείς να μελετήσει τις πλέον πιο δημοφιλείς αριθμητικές μεθόδους απλού βήματος για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, δηλαδή, τις μεθόδους Runge-Kutta. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta και στις συνθήκες των μεθόδων που προέκυψαν. Πιο συγκεκριμένα, σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά πως προκύπτουν οι συνθήκες των άμεσων μεθόδων Runge-Kutta υψηλής τάξης με το ανάπτυγμα Taylor. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η θεωρία της ελάχιστης υστέρησης φάσης των άμεσων μεθόδων Runge-Kutta, καθώς και η υλοποίηση τους στο Mathematica για διάφορες τάξης διασποράς και για αλγεβρική τάξη ακρίβειας 2 και 3. Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται αναφορά στα προβλήματα αρχικών τιμών τα οποία χρησιμοποιήθηκαν ως προβλήματα ελέγχου για την μελέτη των αριθμητικών μεθόδων που κατασκευάστηκαν. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζονται το πρόβλημα του Kepler δύο σωμάτων και το τροποποιημένο πρόβλημα του Kepler, τα οποία ανήκουν στα Χαμιλτονιανά προβλήματα. Στο πέμπτο κεφάλαιο, δίνονται τα αριθμητικά αποτελέσματα και οι γραφικές παραστάσεις για το πρόβλημα του Kepler δυο σωμάτων, για τις μεθόδους απλού βήματος Runge-Kutta υψηλής τάξης και για τις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης. Τέλος, υπάρχουν τέσσερα παραρτήματα. Στο πρώτο παράρτημα παρουσιάζουμε το θεώρημα Taylor με το οποίο αναπτύξαμε πολλές συναρτήσεις στην παρούσα εργασία. Στο δεύτερο παράρτημα, δίνονται οι μέθοδοι απλού βήματος Runge-Kutta υψηλής τάξης που υλοποιήθηκαν. Στο τρίτο παράρτημα παρουσιάζεται, με print screen, η διαδικασία εύρεσης της phase-lag τάξης των μεθόδων Runge-Kutta που υλοποιήσαμε στο Mathematica και στο τέταρτο παρατίθενται οι κώδικες συναρτήσεων σε Matlab.

Item Type:	Thesis (BSc)
Corporate Creators:	Καλογηράτου Ζαχαρούλα
Uncontrolled Keywords:	Μέθοδος απλού βήματος Runge-Kutta, Άμεσοι μέθοδοι Runge-Kutta με ελάχιστη υστέρηση φάσης, Τάξη διασποράς, Σφάλμα φάσης, Χαμιλτονιανά συστήματα, Προβλήματα ελέγχου, Το πρόβλημα του Kepler.
Subjects:	Δ > Διαφορικές εξισώσεις M > MATLAB Μ > Μαθηματικά μοντέλα
Divisions:	Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών > Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ (Καστοριά)
Depositing User:	Προσωπικό Βιβλιοθήκης
Date Deposited:	13 Apr 2016 06:37
Last Modified:	27 Sep 2017 13:52
URI:	http://anaktisis.uowm.gr/id/eprint/8062

Ενέργειες (απαιτείται σύνδεση)

View Item